Méthode de Monte-Carlo

On suppose que l’on souhaite intégrer une fonction  \(f\) continue et positive sur un intervalle \([a;b]\) . 

Le principe de l'algorithme de Monte-Carlo est le suivant : on prend un point au hasard dans le plan et on regarde si celui-ci est au-dessus ou en dessous de la courbe représentative de la fonction \(f\) . On compte alors la proportion de points sous la courbe parmi ceux tirés au hasard et on utilise cette proportion pour estimer l’intégrale de  \(f\) entre  \(a\) et \(b\) .

On note  \(M\) le maximum de notre fonction sur cet intervalle (celui-ci existe bel et bien, en vertu du théorème de Weierstrass que vous rencontrerez lors de vos études supérieures). Si l’on ne parvient pas à le déterminer directement, on peut tout aussi bien se contenter d’un majorant.

On initialise un compteur  \(C\) à 0, puis on recommence les étapes suivantes  \(n\) fois.

• On choisit alors un réel au hasard et de manière uniforme sur l’intervalle \([a;b]\) : on note  \(x\) ce réel. Le programme ne parle pas de telles lois de probabilités sur des espaces continus, mais nous laisserons Python s’en charger pour nous.
  
• On choisit un autre réel  \(y\) au hasard, de manière uniforme et indépendante du premier réel sur l’intervalle \([0;M]\) .
  
• Si  \(y, on incrémente le compteur  \(C\) de 1. Sinon, on ne fait rien.
  
• On renvoie alors la valeur \(\dfrac{C}{n} \times M \times (b-a)\) .

Exercice

1. Expliquer pourquoi la valeur utilisée pour estimer l'intégrale est \(\dfrac{C}{n} \times M \times (b-a)\) .

2. Implémenter l'algorithme précédent à l'aide de la fonction suivante.

La fonction uniform permet de choisir un nombre aléatoire de manière uniforme.

3. Utiliser alors cet algorithme pour estimer l'intégrale entre `-1` et `1` de la fonction  \(f\) définie par \(f(x)=2\sqrt{1-x^2}\)  (on admettra que cette fonction est majorée par 2). Quelle valeur semble-t-on retrouver ?

from random import uniform
from math import sqrt

def f(x) :
    return ...

def montecarlo(f, a, b, M, n):
    '''Estime l'intégrale de f entre a et b à l'aide de la méthode de Monte-Carlo
    --------
    Entrées : 
    f : une fonction continue et positive sur [a,b]
    a : borne inférieure de l'intervalle d'intégration
    b : borne supérieure de l'intervalle d'intégration
    M : maximum ou majorant de la fonction
    n : nombre de points à tirer au hasard
    '''
    C = ...
    for i in range(n):
        x = uniform(a,b)
        y = uniform(0,M)
        if ... :
            C = C + 1
    return ...